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山東成考報(bào)名網(wǎng) 發(fā)布時(shí)間:2024-03-15 09:43:34

  [例2]已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),是否存在實(shí)數(shù)m,使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)對(duì)所有θ∈[0, ]都成立?若存在,求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍,若不存在,說(shuō)明理由.

  命題意圖:本題屬于探索性問(wèn)題,主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運(yùn)算能力,屬★★★★★題目.

  知識(shí)依托:主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題.

  錯(cuò)解分析:考生不易運(yùn)用函數(shù)的綜合性質(zhì)去解決問(wèn)題,特別不易考慮運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法.

  技巧與方法:主要運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來(lái)解決問(wèn)題.

  解:∵f(x)是R上的奇函數(shù),且在[0,+∞)上是增函數(shù),∴f(x)是R上的增函數(shù).于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),

  即cos2θ-3>2mcosθ-4m,即cos2θ-mcosθ+2m-2>0.

  設(shè)t=cosθ,則問(wèn)題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2-mt+2m-2=(t- )2- +2m-2在[0,1]上的值恒為正,又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在[0,1]上的最小值為正.

  ∴當(dāng) <0,即m<0時(shí),g(0)=2m-2>0 m>1與m<0不符;

  當(dāng)0≤ ≤1時(shí),即0≤m≤2時(shí),g(m)=- +2m-2>0

  4-2

  當(dāng) >1,即m>2時(shí),g(1)=m-1>0 m>1.∴m>2

  綜上,符合題目要求的m的值存在,其取值范圍是m>4-2 .


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